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ボールと天秤のパズル 正解発表

 問題文整理と確認ヒント資料編と書いてきたこのパズル。まずは正解と、その証明の概略をここに記す。1回で全てを書くと長くなってしまうし、解答の一部分だけでも自力で挑戦したい方がいるかもしれないので。

 正解は13個。これは「偽物の1個が重いか軽いかを判定しない」という条件があるから。もし、その判定をする必要があるという問題文の条件であれば、正解は12個になる。

 まず1回目、両方の皿に4個ずつ載せる。
 5個ずつ載せてはいけない理由:これが釣り合わなかった場合、10個の偽物候補から残り2回の天秤操作で確実に突き止めることは不可能である。なぜなら、天秤の結果は3の2乗の9通りしかないから。
 よって4個ずつ載せる。これが釣り合えば残りのボールに偽物があり、これが釣り合わなければ今使った8個の中に偽物がある。

1)釣り合った場合は、今わかった本物3個を一方の皿に、残りのボールから3個を他方の皿に載せる。釣り合えば今まで使っていないボール(2個)のどちらかが偽物である。釣り合わなければこの3個の中に偽物がある。

2)釣り合わなかった場合は、8個の偽物候補の中からうまく組み合わせて3個ずつ載せる。この結果により、2回目終了時点で候補が3個以下になる。

1)2)いずれも、3回目を上手に使えば1個を特定できる。ただし、1)で2回目も釣り合った場合には、3回目の結果によって、重いか軽いかの判定ができない場合があるが、本問ではそれを求めていないので問題ない。

追伸:次回は、13個で可能であることと14個では不可能であることを含めて可能な限り完全な形で記したい。

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