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ボールと天秤のパズル 正解詳細

 問題文整理と確認ヒント資料編正解発表ときて、今回で完結。めでたい。

 表記について次の通り定める。
・各ボールをアルファベットで表す。
・天秤に載せる状態を【ABC】V【DEF】のように表現し、重い・軽いの関係を<及び>で、釣り合う場合を=で表す。

1回目
【ABCD】V【EFGH】を載せる。
 1回目に載せる数が多いほど、1回目が釣り合った場合に判定できるボールの数が多くなる。ただし、多過ぎると、1回目が釣り合わなかった場合に残り2回で判定不可能になる。
 5個ずつ載せた場合、釣り合わなかった時に偽物候補が10個残るが、残り2回の天秤で得られる結果は9通りであるため、偽物を確実に特定することはできない。よって、1回目で載せることができるのは4個ずつ以下である。もし、4個ずつで釣り合わなかった場合に確実な特定が不可能であれば、3個ずつに減らす必要が生じるが、その必要がないことは以下の説明で示される。
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1)【ABCD】>【EFGH】の場合
 この時、ABCDのいずれか1つが重いか、EFGHのいずれか1つが軽いか、のどちらかである。…※
 偽物は1つだけであることに注意する。

2回目
【ABF】V【CDE】を載せる。

1)-ア【ABF】=【CDE】の場合
 3回目で【G】V【H】を載せ、上記※とあわせて、軽い方が偽物である。

1)-イ【ABF】>【CDE】の場合
 上記※とあわせて考えると、Aが重い、Bが重い、Eが軽い、のいずれかであることが確定する。
 3回目で【A】V【B】を載せ、釣り合えばEが、釣り合わなければ重い方が方が偽物である。
 なお、【ABF】<【CDE】の場合も1)-イと同様に特定可能である。

 以上から、1)については特定可能である。なお、【ABCD】<【EFGH】の場合も同様に特定可能である。
-----
2)【ABCD】=【EFGH】の場合
 残り5個IJKLMの中に偽物がある。なお、A~Hは本物である。

2回目
【ABC】V【IJK】を載せる。
 1回目で使用しなかったボールを2回目で4個以上載せると、釣り合わなかった場合に偽物候補が4個残るが、残り1回の天秤で得られる結果は3通りであるため、偽物を確実に特定することはできない。よって、ここで載せることができるのは3個以下である。

2)-ア【ABC】=【IJK】の場合
 この時点で偽物候補はLMに絞られるが、重いか軽いかもわからない。
 よって3回目でできることは【A】V【L】に過ぎず、釣り合えばMが、釣り合わなければLが、偽物である。…※※

2)-イ【ABC】>【IJK】の場合
 この時、ABCは全て本物なので、IJKのいずれか1つが軽い。
 3回目で【I】V【J】を載せ、釣り合えばKが、釣り合わなければ軽い方が偽物である。
 なお、【ABC】<【IJK】の場合も2)-イと同様に特定可能である。

 以上から、2)については特定可能である。
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 よって、1回目が1)2)いずれの結果になっても特定可能であるため、13個での確実な特定は可能である。

 次に、14個での確実な特定が不可能であることを示す。
 上記の考察から、1回目の手順、2)の場合の2回目の手順が最善であることがわかるが、2)-アの場合、2回を終えた時点までに全く天秤に載せていない偽物候補が3個あることになる。その3個のうち、3回目で2個を乗せて釣り合わなかった場合、あるいは1個を載せて釣り合った場合、偽物の確実な特定ができない。よって14個では不可能である。

 以上から、答えは13個である。

追伸:※※でMが偽物のケースでは、重いのか軽いのか特定できない。よって、資料編で挙げたケースでは12個が最大となる。

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コメント

正しい重さのボールが1つ手元にある場合は14個の判定が可能だったりします・・。
15個のボールの問題
「ここに14個の白いボールと1個の黒いボールがある。白いボールのうちうち13個は黒いボールと同じ重さだが1個だけは重さが違う。上皿天秤を3回使ってその1つを見つけよ。」
こんな問題の場合。

投稿: hagy | 2005.06.24 21:04

>hagyさん
コメントありがとうございます。
そうですね、1回目で【黒1+白4】V【白5】で載せて、釣り合えば以下同様、釣り合わなければ上手に3個ずつ分ければ大丈夫ですね。

投稿: ひざがわり | 2005.06.25 22:26

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