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握手問題のこたえ

 以前の記事で紹介した、「握手問題」。まずはその内容のおさらいから。

 10組の夫婦が集まるパーティーがあった。その会場では参加者の間で握手がなされた。
 どの参加者も、自分自身とは握手はしていない。
 どの参加者も、自分の配偶者とは握手はしていない。
 どの参加者も、同じ相手と2回以上の握手はしていない。
 パーティー終了後、参加者の1人のAさんは、自分以外の19人に対して「何回握手しましたか?」と質問した。すると、19人の言った回数は全て異なっていた。

 この時、Aさんの配偶者の握手の回数は何回か。

 実は、この解答をきちんと書くのは難しい。ただ、内容をわかっていただければということで、書ける範囲で説明したいと思う。

1)19人の言った回数は?
 1人が、握手し得る最多回数は何回か。参加者20人から、自分自身と配偶者の2人を除いた、18回。一方、最少は0回。握手の回数は当然整数なので、最高でも0から18までの19通りのパターンしかない。
 また、「19人の言った回数は全て異なっていた」ということは、19人は異なる19通りの答え(回数)を言ったことになる。
 つまり、最高でも19通りしかないのに19人が異なる答えをしたということになるので、以上から、「0回」「1回」「2回」…「17回」「18回」が全て1人ずついることがわかる。それ以外のパターンはあり得ない。

2)「0回の人」の配偶者は何回か
 0回の人は、誰とも握手をしていない。もし、0回の人と18回の人が夫婦でないとすると、矛盾が生じる。なぜなら、18回の人は自分自身と自分の配偶者以外、残り18人の全員と握手をしているので、この18人の中に0回の人がいるはずはない。
 よって、0回の人と18回の人は夫婦である。

3)「1回の人」の配偶者は何回か
 1回の人は、2)の18回の人と握手をしたのが全てで、それ以外の人とは握手をしていない。
 一方、17回の人は、「自分自身と自分の配偶者と2)の0回の人」以外の17人全員と握手をしている。
 2)の結論と合わせると、1回の人と17回の人が夫婦でないとすると矛盾が生じる。
 よって、1回の人と17回の人は夫婦である。

4)これを繰り返していく
 以下同様にして、2回と16回が夫婦、というように組み合わせていくことができる。すると、9組の夫婦の組み合わせができて、残るのは「9回」の人である。
 19人の中で、夫婦でないのはAさんの配偶者だけなので、正解は9回。

追伸:最後まで読んでいただいた方がどれほどいらっしゃるか、心配だ。

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